Skip to content

级数

定义:给定数列{an},将其每一项通过加号连接起来的表达式，\(a_1+a_2+a_3+...\)称为无穷级数，若其每一项为常数，称为常数项级数。记作

\[\sum_{i=1}^{\infty}a_i\]

若为函数，则成为函数项级数。

级数收敛：

若级数\(\sum_{i=1}^{\infty}a_i\)的部分和数列{\(s_n\)}收敛于S，则称级数\(\sum_{i=1}^{\infty}a_i\)收敛，其和为S。

常数项级数

e.g.1:判断级数的敛散性： $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)...(k+p)}$$
hint: $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)...(k+p)}=\frac{1}{p} (\frac{1}{k(k+1)...(k+p-1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)...(k+p)})$$ 所以 $$lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}a_n=\frac{1}{p*p!}$$


e.g.2:判断级数敛散性，并求其和： $$\sum_{i=1}^{\infty}arctan\frac{1}{2n^2}$$ hint: $$arctanx-arctany=arctan\frac{x-y}{1+xy}$$
$$arctan\frac{1}{2n^2}=arctan\frac{1}{2n-1}-arctan\frac{1}{2n+1}$$

定理1：级数收敛的必要条件：

\(lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0\)

级数与反常积分：

构造函数f(x)=an(n<=x<=n+1),则有

\[S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}f(x)dx=\int_{1}^{n+1}f(x)dx\]

因此，两者有时可同时考虑敛散性。
但是，两者并不等价 - 级数收敛必有 \(lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0\) - 但是反常积分并将没有以上性质

定理2：级数收敛的柯西准则:

对于任意\(\epsilon>0\),都存在N,对任意n>N,对于任意p,都有\(|a_{n+p}+a_{n+p-1}+...+a_n|<\epsilon\)

级数的性质

  • 线性性质
  • 去掉、添加或改变有限项，不影响敛散性
  • 收敛添加括号后仍然收敛，且其和不变(原部分和数列子列)--加括号后收敛，脱括号后不一定收敛。不加括号发散，加括号不一定发散
判断级数敛散性： $$\frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}+...+\frac{1}{\sqrt{n}-1}-\frac{1}{\sqrt{n}+1}+...$$ ** hint: ** 对第1、2项，第3、4项...第2n-1、2n项加括号后得到 $$\frac{2}{2-1}+\frac{2}{3-1}+...+\frac{2}{n-1}+...$$ 是调和级数，发散，故原级数发散

正项级数:

定理3:单调有界

正项级数收敛的充要条件是，其部分和数列有上界

证明: 调和级数中把含有9的项去掉后收敛 一位数中不含九的：8种
二位数中不含九的：8*9种(十位数有8种选择，个位数有9种选择)
三位数中不含九的：8*9*9种
...
n位数中不含九的：$8*9^{n-1}$种
所以， $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}<8$$
$$\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}<\frac{8*9}{10}$$
......
$$\frac{1}{10^n}+\frac{1}{10^n+1}+...+\frac{1}{8...8}<\frac{8*9^n}{10^n}$$
所以，原式小于 $$\sum_{i=0}^{\infty} 8*(\frac{9}{10})^i$$
e.g.3 已知 $$a_1=1,a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})$$ 证明：（1）数列an收敛（2）级数收敛 $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{a_n+1}-1$$ 解：1.可知an>=1;且 $$a_{n+1}-a_n=\frac{1-2*{a_n}^2}{2*a_n}<0$$ 所以其单调递减有下界，所以其收敛,且极限为1
2. $$ S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{a_n}{a_{n+1}}-1<=\frac{1}{a_{n+1}} \sum_{k=1}^{n}(a_n-a_{n+1})=\frac{1}{a_{n+1}}(a_1-a_{n+1})<=2 $$ 所以收敛

定理4：比较判别法

  • 对于正项级数an,bn,若存在 N, 对任意n>N,有ann，则:
    1. 若b收敛，则a收敛
    2. 若a发散，则b发散
  • 若 $$lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=m$$ 则：
    1. 若 $$0 < m < \infty,$$ 则an,bn同敛散
    2. 若 $$m=0,$$ 若bn收敛，则an收敛
    3. 若 $$m=\infty,$$ 若an收敛，则bn收敛


e.g.4:判断p级数的敛散性
  • 当p=1时，调和级数，发散
  • 当p < 1时，有 $$ \frac{1}{n^p}>\frac{1}{n}$$ 发散
  • 当p>1时，
    1. 由Lagrange中值定理，考虑函数 $$f(x)=\frac{1}{x^{p-1}}$$ $$f(n+1)-f(n)=\frac{1}{(n+1)^{p-1}}-\frac{1}{n^{p-1}}=\frac{1-p}{(n+\theta)^p}$$ $$\frac{1}{(n+1)^p}<\frac{1}{p-1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$$ 之后进行累和，根据比较判别法，收敛
    2. 令 $$\frac{1}{2^{p-1}}=r$$ 有： $$\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}<2*\frac{1}{2^p}=r$$ $$\frac{1}{4^p}+\frac{1}{5^p}+\frac{1}{6^p}+\frac{1}{7^p}<4*\frac{1}{4^p}=r^2$$ $$...$$ $$\frac{1}{(2^n)^p}+\frac{1}{(2^n+1)^p}+...+\frac{1}{(2^{n+1})*p}<2^n*\frac{1}{(2^n)^p}=r^n$$ 因此， $$S_n< S_{2^n-1}< 1+r+...+r^{n-1}< \frac{1}{1-r}$$ 故收敛

注意：请善用泰勒展开进行敛散性的判别。

判断 $$\sum{a^\frac{1}{n}+a^{-\frac{1}{n}}-2}$$ 的敛散性 由泰勒展开可知 $$a^x=e^{xlna}=1+xlna+\frac{1}{2}(xlna)^2+...+\frac{1}{n!}(xlna)^n+...$$ $$a^\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n}lna+\frac{1}{2}(\frac{1}{n}lna)^2+\frac{1}{3!}(\frac{1}{n+\theta}lna)^3$$ $$a^{-\frac{1}{n}}=1-\frac{1}{n}lna+\frac{1}{2}(\frac{1}{n}lna)^2-\frac{1}{3!}(\frac{1}{n-\theta}lna)^3$$ 所以原式等价于二阶调和，故收敛

若an收敛，则存在一个N，当n>N时，有an<1/n——错误的,足够稀疏
e.g.

\[f(x)=\frac{2}{n},n=10^k\]
\[f(x)=\frac{1}{n^2},n\not= 10^k\]

wallis公式

\[lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n+1} (\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2=\frac{\pi}{2}\]
e.g.5:判断敛散性 $$\sum \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$$ $$a_n=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}=\frac{(2n)!}{(2n!!)^2}=\frac{(2n-1)!!}{2n!!}=\frac{1}{2n} \frac{(2n-1)!!}{(2n-2)!!}$$ 故发散


e.g.6: $$a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tan^nxdx$$ {补充桥}(1)求an+an+2的值(2)证明级数收敛： $$\lambda > 0,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^\lambda}$$ (1) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tan^nx+tan^{n+2}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tan^nx(1+tan^2x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tan^nxdtanx=\left.\frac{tan^{n+1}x}{n+1}\right|_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{n+1}$$ (2)比较判别法 $$\frac{1}{2n-2}>a_n>\frac{1}{2n+2}$$
$$lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{a_n}{n^{\lambda}}}{\frac{1}{n^{\lambda+1}}} \rightarrow lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^{\lambda+1}}{2n(n^\lambda)}=\frac{1}{2}$$

定理5：正项级数的比值判别

\[lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\]

(1)l< 1,级数收敛
(2)l>1,级数发散

e.g.7:讨论级数敛散性 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n*n!}{n^n}$$ 令 $$b_n=\frac{a^n*n!}{n^n}$$ $$lim_{n\rightarrow \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{an^n}{(n+1)^n}=\frac{a}{e}$$ 当a< e时，收敛；当a>=e时，发散

定理6：根值判别法

若有

\[lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=p\]
  1. 当p> 1时，级数发散
  2. 当p< 1时，级数收敛
e.g.8:求级数的敛散性 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^2}{3^n}$$ 不给出证明，级数收敛

定理7：积分判别法

设函数f(x)在x>1时单调递减，且对任意x >= 1,有f(x)>0,则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\) 与广义积分 \(\int_{1}^{\infty}f(x)dx\) 有相同的敛散性

证明： $$f(k+1)\leq f(x)\leq f(k)$$ $$f(k+1)\leq \int_k^{k+1}f(x)dx\leq f(k)$$ $$\sum_{k=1}^{n-1}f(k+1)\leq \int_1^{n} f(x)dx\leq \sum_{k=1}^{n-1}f(k)$$
e.g.9:判断级数敛散性 $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nln^pn}$$ 由积分判别法易得p>1,收敛；p<=1,发散
进而讨论 $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^plu^qn}$$ 的敛散性
当p>1时,有N，当n>N,有如下关系 $$p=1+2\alpha$$ $$\frac{1}{n^{1+2\alpha}ln^qn}=\frac{1}{n^{1+\alpha}}\frac{1}{n^\alpha ln^qn}\leq \frac{1}{n^{1+\alpha}}$$ 易得收敛；
当p<1时，我们可以发现： $$p=1-\alpha$$ $$\frac{1}{n^{1-\alpha}ln^qn}=\frac{1}{n}\frac{n^{\alpha}}{ln^qn}\geq \frac{1}{n}$$ 所以发散;
当p=1时，同上

思考
1. 正项级数：an+1/an,级数收敛——错；
2. \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\geq 1\) 级数发散——对；
3. 若正项级数收敛，则存在a>0,满足 \(lim_{n\to \infty}n^{1+a}a_n=c>0\) ——错；

一般项级数

交错级数

若 \(a_n>0\) ,则取 \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n\) 为交错级数，实为

\[a_1-a_2+a_3-a_4+...+a_{2n-1}-a_{2n}+...\]

定理8：leibniz判别

若交错级数 \(\sum(-1)^{n-1}a_n\) 满足如下条件
1. \(a_n>0\)
2. \(a_n\)单调递减
3. \(lim_{n\to \infty}a_n=0\)
则有交错级数收敛且 \(S\leq a_1\)

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$$ $$\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}=\frac{(-1)^n[\sqrt{n}-(-1)^n]}{n-1}=(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n-1}-\frac{1}{n-1}$$