多元函数
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平面点集
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点¶

内点：对于点P，若存在P的邻域，使得P以及P的邻域属于D，则P称为D的内点,D的所有内点组成的集合称为D的内部，记为intD
外点：对于点P，若存在P的邻域，使得P的邻域交D为空集，则称P为D的外点
界点：对于点P，若P的邻域内既有D中的点，又有不属于D中的点，则称P为D的界点，所有D的界点组成的集合成为D的边界，记作$\partial D$
聚点：对于点P，若P的任意去心邻域内都有D中的点，则称P为D的聚点。聚点可以属于D，也可以不属于D
孤立点：P属于D，但存在P的邻域，使得P的去心邻域不属于D
显然我们有如下结论：

孤立点是界点
内点是聚点
既不是聚点又不是孤立点的点是外点

闭包：点集D与其聚点的并称为闭包，记作$\overline{\text{D}}$

点集¶

开集：若D中所有点都是D的内点
闭集：若D的所有聚点都属于D(或D没有聚点) 连通：若D中任意两点P、Q可以通过有限折线连接起来，则称D为连通的
开域：连通的开集
闭域：开域以及其边界上的点

平面点集的完备性理论¶

cauchy收敛准则：对任意 $\epsilon>0$ ,都存在N，当n>N时，对任意p,有 $d(P_{n+p},P_n)< \epsilon$

cauchy收敛的充分性证明

令 $P_n=(x_n,y_n)$ 则有 $$|x_{n+p}-x_n|\leq d(P_{n+p},P_n)< \epsilon,|y_{n+p}-y_n|\leq d(P_{n+p},P_n)< \epsilon$$ 所以x,y均收敛，有 $$lim_{n\to \infty}x_n=x,lim_{n\to \infty}y_n=y$$ 则有点列P_n收敛于(x,y)

闭域套定理：设D_n是非空闭域列且有(1)$D_{n+1}\in D_n$ (2)$d_n=d(D_n),lim_{n\to \infty}d_n=0$,则有唯一的点属于D_n

聚点定理：设D为有界无限点集，则D中至少有一个聚点——有界无限点列一定存在收敛子列

有限覆盖定理(反证)

多元函数的极限与连续¶

多元函数极限¶

定义：P₀为D的一个聚点，若对任意$\epsilon>0$,都存在$\delta>0$,当$P\in U(P_0,\delta)\cap D$,有$|f(P)-A|<\epsilon$,则称A为f在D上，当点P趋向于P₀时的极限，记为$lim_{P\to P_0}f(P)=A$

求证： $$lim_{(x,y)\to (2,1)}(x^2+2y^2+2x-1)=9$$

讨论1< x< 3,0< y< 2, $$|x^2+2y^2+2x-1-9|=|(x-2)(x+4)+2(y-1)(y+1)|\leq |x-2||x+4|+2|y-1||y+1|\leq 7\epsilon_1 +6\epsilon_2<\epsilon$$ 故存在邻域 $$|x-2|\leq \frac{\epsilon}{13},|y-1|\leq \frac{\epsilon}{13}$$

求证： $$lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0$$

可以通过基本不等式做即 $$x^2+y^2\geq 2|xy|$$ 也可以通过极坐标变换 $$0\leq \frac{xy^2}{x^2+y^2}\leq \frac{|rcos\theta r^2sin^2 \theta|}{r^2}\leq |r|$$

多元函数极限存在的充要条件¶

极限$lim_{P\to P_0}f(P)$存在$\longleftrightarrow$对D的任意子集E，只要$P_0$时E的聚点，必有$lim_{P\to P_0}f(P)=A$

e.g. $$f(x)=\begin{cases} \frac{xy^2}{x+y} & (x,y)\not=(0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}$$

取 $$x+y=ky^n$$ 很容易得到极限不存在。但是下面下面解法是错误的 $$|xy|\leq \frac{1}{4}(x+y)^2,\frac{xy^2}{x+y}\leq \frac{1}{4}|y(x+y)|=0$$ 原因，第一步添加绝对值导致错误

累次极限¶

顾名思义不过多赘述
重极限与累次极限并无绝对蕴含关系

但是可以发现
如果重极限与累次极限均存在，则累次极限与重极限相等

多元函数的连续¶

定义类比一元函数很容易得出
全增量:$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
偏增量:$\Delta_x z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$

复合函数连续性定理
若u=g(x.y),v=q(x,y)在x-y平面内P$(x_0,y_0)$点的邻域内有定义且在P点连续，f(u,v)在u—v平面内Q$(u_0,v_0)$的某邻域内有定义且连续：$u_0=g(x_0,y_0),v_0=q(x_0,y_0)$,则:
复合函数f(g(x,y),q(x,y))在P点连续。

有界闭区域上连续函数的性质¶

最值定理
零点存在定理
有界性
介质定理
一致连续性

全微分:¶

设y=f(x₁,x₂...x_n)是Rⁿ的x=(x₁₀,x₂₀,...,x_n0)的邻域上有定义的n元函数，若存在A使得

\[ f(x+\Delta x)-f(x)=A\Delta x+o(\sqrt{(\Delta x)^2}) ,\Delta x\rightarrow 0 \]

则记f(x)在x处可微。其线性主要部分即为f在点x处的微分。更进一步的，当$\Delta x_i = 0$(i=2,3,...)时，可以得到

$$f(x_1+\Delta x_1,x_2,...)-f(x_1,x_2,...)=A_1\Delta x +o(\sqrt{\Delta x^2}) $$

所以$A_1=\partial f / \partial x_1$ ......

函数连续不一定可偏导，不一定可微；可微一定可偏导、连续；偏导数连续则可微

多元函数 ¶

平面点集¶

点¶

点集¶